化简 (20 x^2 y^2) / z^5 的平方根。

Step-by-step solution

1. 1

   把每个因数都拆成「完全平方 × 余下部分」。

   $20=4\cdot 5,\qquad z^5=z^4\cdot z$

   于是被开方式变成

   $\frac{4\cdot 5\cdot x^2y^2}{z^4\cdot z}$

2. 2

   把完全平方开出来，该加绝对值的地方要加。 注意 $\sqrt{u^2}=|u|$，不是 $u$：

   $\sqrt4=2,\quad\sqrt{x^2}=|x|,\quad\sqrt{y^2}=|y|,\quad\sqrt{z^4}=z^2$

   $z^2$ 本身已经非负，所以不用加绝对值。目前的结果是

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}$

3. 3

   交代一下定义域。 原式要求 $z>0$（根号下分母里是 $z$ 的奇次幂），这也正是 $z$ 自己不需要绝对值的原因。

4. 4

   分母有理化。 分子分母同乘 $\sqrt z$：

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}\cdot\frac{\sqrt z}{\sqrt z}=\frac{2|xy|\sqrt{5z}}{z^3}$

   这里用到 $\sqrt5\cdot\sqrt z=\sqrt{5z}$ 以及 $z^2\cdot z=z^3$。

5. 5

   数值验算。 取 $x=2$、$y=3$、$z=4$：被开方式为 $\tfrac{20\cdot 4\cdot 9}{1024}=0.703125$，开方得 $0.83853$。化简后的式子给出 $\tfrac{2\cdot 6\sqrt{20}}{64}=\tfrac{12\cdot 4.47214}{64}=0.83853$ $\checkmark$。若假定所有字母都为正，答案也可以写成 $\tfrac{2xy\sqrt{5z}}{z^3}$。