多项式 f(x) 除以 2x² − 3x + 4 的余式是 2x + 1，求 [f(x)]³ 除以 2x² − 3x + 4 的余式。

Step-by-step solution

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   先把「带余除法」这件事写成一个可以立方的等式。 「余式是 $2x+1$」的意思是，存在某个商式 $Q(x)$，使得

   $f(x)=Q(x)\,(2x^2-3x+4)+(2x+1)$

   题目给的信息只有这一条，所以后面每一步都必须从它出发。为方便起见，记 $D(x)=2x^2-3x+4$。

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   两边立方，再把所有能被 $D(x)$ 整除的部分丢掉。 用二项式定理展开 $\big(QD+(2x+1)\big)^3$ 得

   $Q^3D^3+3Q^2D^2(2x+1)+3QD(2x+1)^2+(2x+1)^3$

   前三项都含有因式 $D(x)$，对余式毫无贡献。这正是关键所在：$f^3$ 的余式就等于 $(2x+1)^3$ 的余式。 全程根本不需要知道 $f$ 或 $Q$ 究竟是什么。

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   把这个立方展开。

   $(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1$

   除式的次数是 $2$，所以我们要找的余式次数至多为 $1$——它一定形如 $Ax+B$。

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   用除式本身给 $x$ 的高次幂降次。 与其去做长除法，不如在商环里利用关系 $2x^2-3x+4=0$，也就是把

   $x^2=\frac{3x-4}{2}$

   当成一条改写规则来用。于是

   $x^3=x\cdot x^2=\frac{3x^2-4x}{2}=\frac{3\cdot\frac{3x-4}{2}-4x}{2}=\frac{\frac{9x-12-8x}{2}}{2}=\frac{x-12}{4}$

   这个代换技巧比用二次式去除三次式快得多，而且对 $x$ 的任意次幂都适用。

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   代入并合并同类项。

   $8x^3=8\cdot\frac{x-12}{4}=2x-24,\qquad 12x^2=12\cdot\frac{3x-4}{2}=18x-24$

   于是

   $(2x+1)^3\equiv(2x-24)+(18x-24)+6x+1=26x-47$

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   老老实实做一次长除法来检验。 用 $8x^3+12x^2+6x+1$ 除以 $2x^2-3x+4$，得到商 $4x+12$，而

   $(2x^2-3x+4)(4x+12)=8x^3+12x^2-20x+48$

   再加上我们求得的余式：$8x^3+12x^2-20x+48+26x-47=8x^3+12x^2+6x+1$，正好就是那个立方式。余式得到确认。