等差数列中 u_n - u_(n-1) = d 成立吗？请证明，并说明它在什么情况下不成立。

Step-by-step solution

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   先回忆通项公式。 首项为 $u_{1}$、公差为 $d$ 的等差数列满足

   $u_{n}=u_{1}+(n-1)d\qquad (n\ge 1)$

   这是通项（封闭）形式；要证的那个结论，正是藏在它里面的递推形式。

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   把 $n$ 换成 $n-1$，写出前一项。

   $u_{n-1}=u_{1}+\left((n-1)-1\right)d=u_{1}+(n-2)d\qquad (n\ge 2)$

   $n\ge 2$ 这个限制是有意义的——下标从 $1$ 开始的数列里并不存在 $u_{0}$。

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   把两个表达式相减。 $u_{1}$ 互相抵消，而 $d$ 的系数正好相差一：

   $u_{n}-u_{n-1}=\left[u_{1}+(n-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-2)d\right]=\left[(n-1)-(n-2)\right]d=d$

   所以结论成立，对每一个 $n\ge 2$ 都成立；而且结果 $d$ 不依赖 $n$——数列里处处的间隔都一样。

4. 4

   推广到不相邻的两项。 对任意下标作同样的相减，得

   $u_{m}-u_{n}=\left[u_{1}+(m-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-1)d\right]=(m-n)d$

   而 $u_{n}-u_{n-1}=d$ 就是其中 $m=n$、$n\to n-1$ 的特例。

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   在一个具体数列上核一下。 取 $u_{1}=3$、$d=2$：$u_{2}=5$、$u_{3}=7$、$u_{4}=9$。于是 $u_{4}-u_{3}=9-7=2=d$ ✓，$u_{4}-u_{2}=9-5=4=(4-2)d$ ✓。

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   说清逆命题与失效的情形。 这个恒等式不只是「是等差数列」的推论——它反过来还刻画了等差数列：若对一切 $n$，$u_{n}-u_{n-1}$ 都等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。而对一般的数列，这个差根本不必是常数；例如 $u_{n}=n^{2}$ 时 $u_{n}-u_{n-1}=2n-1$，会随 $n$ 变化。所以只有在确知数列是等差数列之后，才可以用这个公式。