基本函数 f(x) = |x| 先关于 x 轴翻折，再向下平移 6 个单位。写出新函数的解析式。

Step-by-step solution

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   先从最基本的 V 形说起。 $f(x)=|x|$ 的顶点是 $(0,0)$，开口向上，左臂斜率为 $-1$、右臂斜率为 $+1$，值域是 $[0,\infty)$。

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   关于 $x$ 轴翻折。 关于 $x$ 轴作对称，就是把每个函数值 $y$ 换成 $-y$：

   $-f(x)=-|x|$

   此时 V 形开口向下，两臂斜率依次为 $+1$ 和 $-1$，值域变成 $(-\infty,0]$。（若是关于*$y$*轴翻折，那就是把 $x$ 换成 $-x$，在这里什么都不会变，因为 $|-x|=|x|$ —— 题目只说了「翻折」，所以这一点值得点明。）

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   向下平移 6 个单位。 从函数值里减去 $6$：

   $-|x|-6$

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   描述最终得到的图象。

   $f(x)=-|x|-6,\qquad \text{顶点 }(0,-6),\ \text{值域 }(-\infty,-6]$

   最大值是 $-6$，且只在 $x=0$ 处取到。

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   验几个点，并指出它没有零点。 取 $x=0$：$-|0|-6=-6\;\checkmark$（正是顶点）。取 $x=3$：$-3-6=-9$；基本函数上的点 $(3,3)$ 先对称到 $(3,-3)$，再下落到 $(3,-9)\;\checkmark$。由于最大的函数值是 $-6<0$，方程 $-|x|-6=0$ 无解 —— 这条图象永远碰不到 $x$ 轴。