解方程 x³ − 15x² + 75x − 125 = 0。

Step-by-step solution

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   拿系数去比对立方公式的模板。 展开模板得到

   $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$

   先对 $x^2$ 的系数：$-3a=-15$，所以 $a=5$。接着剩下两个系数都必须吻合，而它们确实吻合：$3a^2=75$ ✓，$-a^3=-125$ ✓。三处全部通过才有资格用这个捷径——只要有一处不合，这个三次式就不是完全立方。

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   把方程改写成立方形式。

   $x^3-15x^2+75x-125=(x-5)^3=0$

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   解这个立方方程。 一个立方等于零，只有底数为零这一种可能，于是

   $x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=5$

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   记下重数。 因式 $(x-5)$ 出现了三次，所以 $x=5$ 是三重根。一元三次方程按重数计恰有三个根，这里三个根重合在一起——既没有别的实根，也没有复根。

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   验算，并顺便读出图像特征。 代入：$125-375+375-125=0$ ✓。此外 $f'(x)=3x^2-30x+75=3(x-5)^2$，$f''(x)=6x-30$，因此 $f'(5)=0$，$f''(5)=0$ 也成立。所以函数图像在 $x=5$ 处会完全「压平」之后才穿过横轴——这正是三重根在图像上的指纹。