把 x² − 4x 分解因式。

Step-by-step solution

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   在尝试别的方法之前，先找公因式。 式子里没有常数项，这正是一个信号：这里该用提公因式，而不是去找两个数。把每一项写成乘积：

   $x^{2}=x\cdot x,\qquad4x=4\cdot x$

   两项都恰好含一个 $x$，所以最大公因式是 $x$——不是 $x^{2}$，因为 $4x$ 里只有一个 $x$。

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   每一项除以公因式，商留在括号里。

   $\frac{x^{2}}{x}=x,\qquad\frac{-4x}{x}=-4$

   所以

   $x^{2}-4x=x(x-4)$

   符号是跟着项走的：原式里是 $-4x$，括号里就是 $-4$。

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   展开检验。 $x(x-4)=x\cdot x-x\cdot4=x^{2}-4x$ ✓。在 $-20$ 到 $19$ 的每个整数上这个恒等式都成立 ✓。一个常见的失手是写成 $x(x-4x)$——只对其中一项做了除法。

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   读出方程的根。 把分解式置零，再用零因子性质：

   $x(x-4)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{ 或 }\ x=4$

   注意 $x=0$ 是一个真正的根，如果不做因式分解而是两边同除以 $x$，就很容易把它弄丢——除以一个可能为零的变量会毁掉一个解。

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   看看它的几何含义。 $x^{2}-4x$ 是一条过 $(0,0)$ 和 $(4,0)$ 的开口向上的抛物线，所以顶点落在中点 $x=2$ 处，那里的值是 $4-8=-4$。因此 $x^{2}-4x<0$ 恰好在 $(0,4)$ 上成立，最小值是 $-4$。