(x³ − 3x² + 5x − 3) ÷ (x − 1) 的商是多少？

Step-by-step solution

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   先判断这次除法能不能整除。 由因式定理，$x - 1$ 整除这个三次式，当且仅当把 $x = 1$ 代进去结果为零：

   $1 - 3 + 5 - 3 = 0$

   确实为零，所以余数应当是 $0$，商是一个干净的二次式。事先知道这一点，最后若还剩下非零的东西，就说明算术出了岔子。

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   第一轮：除、乘、减。 首项相除：

   $\frac{x^3}{x} = x^2, \qquad x^2(x-1) = x^3 - x^2$

   $(x^3 - 3x^2 + 5x - 3) - (x^3 - x^2) = -2x^2 + 5x - 3$

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   第二轮。 此时待除式的首项是 $-2x^2$：

   $\frac{-2x^2}{x} = -2x, \qquad -2x(x-1) = -2x^2 + 2x$

   $(-2x^2 + 5x - 3) - (-2x^2 + 2x) = 3x - 3$

   留意符号：减去 $+2x$ 之后剩下 $5x - 2x = 3x$。

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   第三轮收尾。 从 $3x$ 开始：

   $\frac{3x}{x} = 3, \qquad 3(x-1) = 3x - 3$

   $(3x - 3) - (3x - 3) = 0$

   余数是 $0$，与因式定理预测的完全一致，所以商就是 $x^2 - 2x + 3$。

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   乘回去验证。 把除法得到的分解展开：

   $(x-1)(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$

   和原来的三次式一致。顺带一提，$x^2 - 2x + 3$ 的判别式是 $4 - 12 = -8 < 0$，所以 $x = 1$ 是这个三次式唯一的实根。