把 √45 − √12 − √10/√2 + 3/√3 化成 a√3 + b√5 的形式（a、b 为有理数），并求 a + b。

Step-by-step solution

1. 1

   先化简两个单独的根式。 把最大的平方因数提到根号外：

   $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3$

2. 2

   把根式的商并成一个根号。 利用 $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}$：

   $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt5$

   这比先把分母有理化再算要快得多。

3. 3

   把最后一项分母有理化。

   $\frac{3}{\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$

   （也可以直接看出 $\tfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$，因为 $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$。）

4. 4

   把含 √3 的项和含 √5 的项分别合并。 它们是不同类的根式，不能混在一起相加：

   $3\sqrt5-2\sqrt3-\sqrt5+\sqrt3=(3-1)\sqrt5+(-2+1)\sqrt3=2\sqrt5-\sqrt3$

5. 5

   对照题目要求的形式再相加。 写成 $a\sqrt3+b\sqrt5$ 就得到 $a=-1$，$b=2$，于是

   $a+b=-1+2=1$

   $\boxed{a+b=1}$

6. 6

   用近似值核对。 $\sqrt{45}=6.7082$，$\sqrt{12}=3.4641$，$\tfrac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=2.2361$，$\tfrac{3}{\sqrt3}=1.7321$。原式之和为 $6.7082-3.4641-2.2361+1.7321=2.7401$，而 $2\sqrt5-\sqrt3=4.4721-1.7321=2.7401$ ✓。