化简 E = (x + 2)³ + (x − 2)³ + x³ − 3x(x + 2)(x − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   用二项展开公式把两个立方展开。 取 $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$，其中 $b = 2$：

   $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

   $(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

   奇次项保持各自的符号规律，正是这一点让下一步大幅塌缩。

2. 2

   把两个立方相加——偶次项互相抵消。

   $(x+2)^3 + (x-2)^3 = 2x^3 + 24x$

   $\pm 6x^2$ 抵消了，$\pm 8$ 两个常数项也抵消了，因为它们处在偶次位置上、符号恰好相反。

3. 3

   用平方差化简那个乘积项。 先处理括号里那一对：

   $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

   于是

   $-3x(x+2)(x-2) = -3x(x^2 - 4) = -3x^3 + 12x$

   把 $-3x$ 乘到括号里两项上（包括那个 $-4$），是最容易丢符号的地方。

4. 4

   合并所有项。 把三块拼起来：

   $E = (2x^3 + 24x) + x^3 + (-3x^3 + 12x)$

   三次项一列：$2x^3 + x^3 - 3x^3 = 0$。一次项一列：$24x + 12x = 36x$。$x^2$ 的项和常数项都不剩了。

5. 5

   写出结果并检验。

   $E = 36x$

   代 $x = 1$ 验算：$27 + (-1) + 1 - 3(3)(-1) = 27 - 1 + 1 + 9 = 36 = 36 \cdot 1$。代 $x = 2$：$64 + 0 + 8 - 6(4)(0) = 72 = 36 \cdot 2$。两次都印证了结果是一次式。