解方程 |x| + |x − 1| = 3。

Step-by-step solution

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   先找出零点。 每个绝对值在其内部表达式为零处改变写法：$|x|$ 的零点是 $x=0$，$|x-1|$ 的零点是 $x=1$。这两点把数轴切成 $x<0$、$0\le x<1$、$x\ge 1$ 三段。在每一段内两个绝对值都能换成普通的一次式，这正是分段讨论的意义所在。

2. 2

   情形一：$x<0$。 两个括号内都是负的，所以 $|x|=-x$，$|x-1|=1-x$：

   $-x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ -2x+1=3\ \Longrightarrow\ x=-1$

   再检查是否落在本段内：$-1<0$ ✓，所以 $x=-1$ 是真解。

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   情形二：$0\le x<1$。 此时 $|x|=x$，但 $|x-1|=1-x$：

   $x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ 1=3$

   含 $x$ 的项相消，剩下一个假命题，所以这一段没有解。从几何上看，$|x|+|x-1|$ 是 $x$ 到 $0$ 与到 $1$ 的距离之和，在两点之间处处恰好等于 $1$，永远够不到 $3$。

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   情形三：$x\ge 1$。 两个括号内都非负，所以 $|x|=x$，$|x-1|=x-1$：

   $x+(x-1)=3\ \Longrightarrow\ 2x=4\ \Longrightarrow\ x=2$

   检查条件：$2\ge 1$ ✓，所以 $x=2$ 有效。

5. 5

   每个候选解都必须回到它所在的那一段去验证。 这里最常见的错误就是留下了一个满足某段方程、却不在该段区间内的值。本题两个解都通过了检验，代回原式也吻合：$|-1|+|-2|=1+2=3$ ✓，$|2|+|1|=2+1=3$ ✓。

6. 6

   写出解集。 $x=-1$ 或 $x=2$。用距离的观点可以解释为什么恰好有两个解：要让到 $\{0,1\}$ 两点的距离之和为 $3$，线段两侧各能找到一个点。