求 log 1576 除以 log 2.44 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先认出换底公式的形状。 对任何合法的底 $c$，都有

   $\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}$

   也就是说，两个同底对数相除的结果就是一个对数——而且底 $c$ 根本不会出现在答案里，所以这里到底是常用对数还是自然对数都无所谓。

2. 2

   读出底数和真数。 这里分子的真数是 $1576$，分母的真数是 $2.44$，于是

   $\frac{\log 1576}{\log 2.44}=\log_{2.44}1576$

   用文字说就是：使 $2.44^x=1576$ 成立的那个指数 $x$。

3. 3

   把两个对数分别算出来。 以 $10$ 为底，

   $\log 1576\approx 3.1975562,\qquad \log 2.44\approx 0.3873898$

   两个都稳稳地不为零，所以这个商是有意义的（$2.44\neq 1$）。

4. 4

   做除法。

   $\frac{3.1975562}{0.3873898}\approx 8.2541048$

   除的时候要把七位数字都带上：对数截断得太早，正是那个被到处引用却其实不准的 $8.2537$ 的来源。

5. 5

   用乘方反过来验。 $2.44^{8.2541}\approx 1575.99$，在舍入误差范围内就是 $1576$。作为对比，$2.44^{8.2537}\approx 1575.43$——已经差了 $0.57$——由此就能看出 $8.2537$ 根本精确不到小数点后四位。所以结果是 $\log_{2.44}1576\approx 8.2541$。