化简 (2x² + 7x + 3)/(x + 3)。

Step-by-step solution

1. 1

   化简之前先记下限制条件。 分母在 $x=-3$ 处为零，表达式在那里没有定义。不论化简后长成什么样，这个排除条件都得一路带着。

2. 2

   拆中间项。 要分解 $2x^{2}+7x+3$，就找两个数，使它们的积等于 $a\cdot c=2\times3=6$，和等于 $b=7$。这两个数是 $6$ 和 $1$：

   $2x^{2}+7x+3=2x^{2}+6x+x+3.$

   拆开后谁在前谁在后无所谓，两种排法都能顺利分组。

3. 3

   分组提取公因式。 从前两项提出 $2x$，从后两项提出 $1$：

   $2x(x+3)+1(x+3)=(2x+1)(x+3).$

   出现 $(x+3)$ —— 恰好就是分母 —— 正是这道题的用意所在。乘回去验证得到 $2x^{2}+6x+x+3$ ✓。

4. 4

   约掉公因式。 只要 $x\ne-3$，因式 $(x+3)$ 就可以约掉：

   $\frac{(2x+1)(x+3)}{x+3}=2x+1.$

   能约分的前提正是 $x+3\ne0$；这里做的是除法，不是令某个因式等于零。

5. 5

   写答案时带上定义域。 化简后的表达式是

   $2x+1,\qquad x\ne-3.$

   它的图像是直线 $y=2x+1$，但在 $x=-3$ 处有一个空心点，直线本该经过 $(-3,-5)$ —— 这就是可去间断点。取 $x=1$ 验证：原式得 $\tfrac{2+7+3}{4}=3$，化简后的式子也得 $3$ ✓。