化简 (x⁵ − x + 20x³ − 8) 除以 (7 + x² − 2x)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把两个多项式都按降幂标准排列。 题面给出的项是打乱的，而长除法完全依赖次数的顺序：

   $\text{分子：} x^5 + 20x^3 - x - 8, \qquad \text{分母：} x^2 - 2x + 7$

   商的次数将是 $5 - 2 = 3$。

2. 2

   给缺掉的幂次补上零占位。 分子里既没有 $x^4$ 项，也没有 $x^2$ 项，所以写成

   $x^5 + 0x^4 + 20x^3 + 0x^2 - x - 8$

   不补这些占位项，竖式的各列就会错位，后面每一次减法都会跟着错。

3. 3

   第 1、2 轮。 首项相除、回乘、相减：

   $\frac{x^5}{x^2} = x^3: \quad x^3(x^2-2x+7) = x^5 - 2x^4 + 7x^3 \ \Rightarrow\ 2x^4 + 13x^3 + 0x^2 - x - 8$

   $\frac{2x^4}{x^2} = 2x^2: \quad 2x^2(x^2-2x+7) = 2x^4 - 4x^3 + 14x^2 \ \Rightarrow\ 17x^3 - 14x^2 - x - 8$

4. 4

   第 3、4 轮。

   $\frac{17x^3}{x^2} = 17x: \quad 17x(x^2-2x+7) = 17x^3 - 34x^2 + 119x \ \Rightarrow\ 20x^2 - 120x - 8$

   $\frac{20x^2}{x^2} = 20: \quad 20(x^2-2x+7) = 20x^2 - 40x + 140 \ \Rightarrow\ -80x - 148$

   剩下的 $-80x - 148$ 是一次式，次数低于除式的 $2$ 次，所以除法到此为止。

5. 5

   把结果写成「商加上真分式余项」。

   $\frac{x^5 + 20x^3 - x - 8}{x^2 - 2x + 7} = x^3 + 2x^2 + 17x + 20 - \frac{80x + 148}{x^2 - 2x + 7}$

6. 6

   乘回去验算。 把 $(x^2 - 2x + 7)(x^3 + 2x^2 + 17x + 20) + (-80x - 148)$ 展开，恰好还原成 $x^5 + 20x^3 - x - 8$。另外注意除式 $x^2 - 2x + 7$ 的判别式是 $4 - 28 = -24 < 0$，它在实数范围内不能分解，所以余项也没法再用实系数一次因式做部分分式拆分。