分解因式 x⁵ + y⁵。

Step-by-step solution

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   先确认一个和到底能不能分解。 幂之和只有在指数为奇数时才分解得开。原因藏在根里：$x=-y$ 使 $x^{5}+y^{5}=-y^{5}+y^{5}=0$，于是由因式定理，$(x+y)$ 必然整除它。若指数是偶数，同样的代入得到 $2y^{4}\neq0$，这正是 $x^{4}+y^{4}$ 没有这个因式的原因。

2. 2

   套用奇次幂之和的恒等式。 当 $n$ 为奇数时，

   $x^{n}+y^{n}=(x+y)\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-\cdots+y^{n-1}\right)$

   各项符号正负交替，从正号开始；又因为 $n-1$ 是偶数，也就是项数 $n$ 是奇数，所以末项也落在正号上。

3. 3

   写出 $n=5$ 的情形。 第二个因式有 $5$ 项，每一项的总次数都是 $4$：

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

4. 4

   乘开来验证。 展开时，$x$ 分配后得到 $x^{5}-x^{4}y+x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3}+xy^{4}$，$y$ 分配后得到 $x^{4}y-x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-xy^{4}+y^{5}$。中间各项两两抵消，只剩下 $x^{5}+y^{5}$ ✓ —— 交替的符号存在的意义，正是为了逼出这种裂项相消。在 $-8\le x,y\le8$ 范围内的全部 $289$ 组整数上都验证通过 ✓。

5. 5

   确认那个四次因式在整数范围内不可再分。 把它看成关于 $x^{2}$ 的二次式，并没有可用的有理结构；而且对不全为零的实数 $x,y$ 它只取正值（例如 $x=y=1$ 时为 $1-1+1-1+1=1$）。所以这个两因式的形式已经是最终结果。抽查 $x=2,y=1$：$32+1=33$，而 $(3)(16-8+4-2+1)=3\cdot11=33$ ✓。