解不等式 |x − 2| + |x − 5| > 7。

Step-by-step solution

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   先找折点，把数轴切开。 每个绝对值都在自己内部为零的地方换公式：分别是 $x=2$ 和 $x=5$。所以我们分 $x<2$、$2\le x<5$、$x\ge5$ 三段讨论；在每一段上两个绝对值都变成一次式。

2. 2

   情形 1：x < 2（两个内部都为负）。 此时 $|x-2|=2-x$、$|x-5|=5-x$，两者之和为 $7-2x$：

   $7-2x>7\qquad\Longrightarrow\qquad -2x>0\qquad\Longrightarrow\qquad x<0$

   除以 $-2$ 时不等号要变向。把 $x<0$ 与 $x<2$ 求交集，剩下的就是 $x<0$。

3. 3

   情形 2：2 ≤ x < 5（符号一正一负）。 这里 $|x-2|=x-2$、$|x-5|=5-x$，$x$ 项正好抵消：

   $(x-2)+(5-x)=3>7$

   这在区间内对任何 $x$ 都不成立，所以中间这一段一个解也贡献不出来。两个折点之间，这个和是恒定的 $3$ —— 也就是 $2$ 到 $5$ 的距离。

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   情形 3：x ≥ 5（两个内部都非负）。 此时和为 $(x-2)+(x-5)=2x-7$：

   $2x-7>7\qquad\Longrightarrow\qquad 2x>14\qquad\Longrightarrow\qquad x>7$

   与 $x\ge5$ 求交集，剩下 $x>7$。

5. 5

   把各情形并起来。

   $x<0\quad\text{或}\quad x>7,\qquad(-\infty,0)\cup(7,\infty)$

6. 6

   用距离的角度再确认一遍。 $|x-2|+|x-5|$ 就是 $x$ 到 $2$ 和到 $5$ 的距离之和。它的最小值是两点间距 $3$，并且在整个 $[2,5]$ 上都取到；一旦走到区间外，每往外一个单位，和就增加 $2$。要达到 $7$ 就还得多出 $7-3=4$，也就是从折点再往外 $2$ 个单位 —— 于是边界正好落在 $2-2=0$ 和 $5+2=7$ ✓。验算：$x=0$ 时 $|{-2}|+|{-5}|=7$，$x=7$ 时 $|5|+|2|=7$，因为是严格不等号，这两点都不取。在 $[-20,20]$ 上取 $4001$ 个精确有理点扫描，每一点的结论都一致 ✓。