求方程 7(s + 9)² − 20(s + 9) = 3 的实数解。

Step-by-step solution

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   先认出重复出现的整块。 式子 $s+9$ 既以平方出现，又以一次幂出现，除此之外别处再没有它。这就是换元的信号：这个方程对那个整块是二次的，而不是直接对 $s$ 二次。

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   令 u = s + 9。 方程变成 $7u^2-20u=3$，把 $3$ 移过去就得到标准形式 $7u^2-20u-3=0$。先把平方展开也能做，但只会把数字弄大，没有任何好处。

3. 3

   对 u 的二次式做因式分解。 找两个数，乘积是 $7\cdot(-3)=-21$，和是 $-20$，即 $-21$ 和 $1$，于是 $7u^2-21u+u-3=7u(u-3)+(u-3)=(7u+1)(u-3)=0$。因此 $u=3$ 或 $u=-\frac17$。

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   换元还原。 由 $u=s+9$ 得 $s=u-9$。由 $u=3$ 得 $s=-6$；由 $u=-\frac17$ 得 $s=-\frac17-9=-\frac{64}{7}$。

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   把两个根代回原方程检验。 当 $s=-6$：$s+9=3$，于是 $7(9)-20(3)=63-60=3$。当 $s=-\frac{64}{7}$：$s+9=-\frac17$，于是 $7\cdot\frac{1}{49}+\frac{20}{7}=\frac17+\frac{20}{7}=3$。两个都精确等于 $3$。