求函数 f(x) = (2x + 9) / (x³ + 3x² − x − 3) 的定义域，答案用区间表示。

Step-by-step solution

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   先把问题化归成求三次分母的零点。 分式函数在分母不为零的地方处处有定义，所以定义域就是 $\mathbb{R}$ 去掉 $x^{3}+3x^{2}-x-3$ 的根。分子 $2x+9$ 不带来任何限制。四项而且没有公因式，这时分组分解比试根法更顺手。

2. 2

   分组分解。 把前两项和后两项各自分成一组，提出各自明显的公因式：

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=x^{2}(x+3)-1(x+3)=\left(x^{2}-1\right)(x+3)$

   分组之所以奏效，正是因为两组剩下的都是同一个因式 $(x+3)$。

3. 3

   再用平方差收尾。 由于 $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$，分母被彻底分解成一次因式：

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=(x-1)(x+1)(x+3)$

4. 4

   令每个因式为零，列出要排除的值。

   $x-1=0\ \Rightarrow\ x=1,\qquad x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1,\qquad x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$

   这些点都不会同时让分子为零（$2x+9$ 在那里分别等于 $11$、$7$ 和 $3$），所以三个都是真正的垂直渐近线，而不是可去间断点。

5. 5

   把定义域写成区间形式。 从实数轴上挖掉三个点，剩下四个开区间，按从小到大排列：

   $(-\infty,-3)\cup(-3,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$

6. 6

   数值检验分解是否正确。 在 $x=0,1,2,3$ 处计算 $(x-1)(x+1)(x+3)-\left(x^{3}+3x^{2}-x-3\right)$，每次都得 $0$，说明这三个排除值就是全部。