求一一对应函数 t(x) = 3√(x + 6) 的反函数，并写出反函数的定义域。

Step-by-step solution

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   先记下原函数的定义域和值域。 被开方数必须非负，由 $x+6\ge0$ 得定义域 $x\ge-6$；又因为 $\sqrt{\ }$ 的取值非负，值域是 $t(x)\ge0$。这两件事随后会分别变成反函数的值域和定义域——所以值得先写下来。

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   令 $y=t(x)$ 并交换两个变量。 写成 $y=3\sqrt{x+6}$，再把 $x$ 与 $y$ 对调：

   $x=3\sqrt{y+6}.$

   交换正是「把输入和输出反过来」的写法；之后解出 $y$ 就得到反函数的对应法则。

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   平方之前先把根式单独留下。 先除以 $3$：

   $\frac{x}{3}=\sqrt{y+6}.$

   $3$ 还在外面就直接平方会得到 $x^{2}=9(y+6)$——本题结果一样，但养成先分离根式的习惯，能在系数是相加而非相乘时避免出错。

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   平方并解出 $y$。 两边平方：

   $\frac{x^{2}}{9}=y+6\;\Longrightarrow\;y=\frac{x^{2}}{9}-6.$

   所以反函数的法则是 $t^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}}{9}-6$。

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   别忘了加上定义域限制——它也是答案的一部分。 抛物线 $\frac{x^{2}}{9}-6$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上并不是一一对应的，只有与 $t$ 的值域相匹配的那一支才算数：

   $t^{-1}(x)=\frac{x^{2}}{9}-6,\qquad x\ge0.$

   两个方向的复合都验一下：$t\!\left(t^{-1}(4.2)\right)=4.2$ ✓，$t^{-1}\!\left(t(3.3)\right)=3.3$ ✓。若不加限制，$t^{-1}(-3)=-5$ 就会错误地声称 $t(-5)=-3$，而事实上 $t(-5)=3$。