化简 (1 − 2√(b/a) + b/a) 除以 (√a − √b) 的平方。

Step-by-step solution

1. 1

   把分子看成一个完全平方。 令 $u=\sqrt{b/a}$。则 $b/a=u^{2}$，分子就是

   $1-2u+u^{2}=(1-u)^{2}=\left(1-\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)^{2}.$

   看出 $1-2u+u^{2}$ 这个平方式样就是全部技巧；看不出来的话，根号永远约不掉。

2. 2

   把这个平方通分改写。 由于 $a>0$ 时 $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$，

   $1-\frac{\sqrt b}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a},\qquad\text{于是}\qquad\left(1-\sqrt{\tfrac ba}\right)^{2}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}{a}.$

   注意 $(\sqrt a)^{2}=a$，最终答案里那个孤零零的 $a$ 就是从这里来的。

3. 3

   除以分母。 分母是 $\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)^{2}=(\sqrt a-\sqrt b)^{2}$，恰好就是现在坐在分子里的那个因式：

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}/a}{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}=\frac{1}{a}.$

4. 4

   写出让约分合法的条件。 我们需要 $a>0$，好让 $\sqrt a$ 以及 $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$ 有意义；需要 $b\ge0$ 好让 $\sqrt b$ 有意义；还需要 $a\ne b$，这样 $(\sqrt a-\sqrt b)^{2}\ne0$，除法才有定义。在这些条件下，结果就是 $1/a$，与 $b$ 完全无关。

5. 5

   代数字检验。 取 $a=9$、$b=4$：分子是 $1-2\sqrt{4/9}+4/9=1-\tfrac43+\tfrac49=\tfrac19$；分母是 $(3-2)^{2}=1$；商是 $\tfrac19=1/a$。再取 $a=4$、$b=25$：分子 $1-2(2.5)+6.25=2.25$，分母 $(2-5)^{2}=9$，商 $0.25=1/4$。两次都吻合。