计算并化简：(x + 5)/(2x − 2) + 3x/(x^2 + x − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   在选公分母之前先把两个分母分解因式。 直接把两个分母乘起来也行得通，但会得到一个不必要地庞大的式子，后面还得约回去。分解因式则能看出它们共有的部分：

   $2x-2=2(x-1),\qquad x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$

2. 2

   构造最简公分母。 把两个分母里出现的每个不同因式各取最高次幂——常数 $2$、两者共有的 $(x-1)$，以及因式 $(x+2)$：

   $\text{最简公分母}=2(x-1)(x+2)$

3. 3

   把两个分式都化到公分母上。 第一个需要再乘一个 $(x+2)$，第二个需要再乘一个 $2$：

   $\frac{(x+5)(x+2)}{2(x-1)(x+2)}+\frac{2\cdot 3x}{2(x-1)(x+2)}$

4. 4

   把分子相加并整理。

   $(x+5)(x+2)=x^{2}+7x+10$

   $x^{2}+7x+10+6x=x^{2}+13x+10$

   于是和为

   $\frac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}$

5. 5

   检查结果能不能约分。 要能约掉，就得让 $x-1$ 或 $x+2$ 整除 $x^2+13x+10$。当 $x=1$ 时分子是 $24\neq 0$；当 $x=-2$ 时是 $4-26+10=-12\neq 0$。两个都不是因式，所以式子已经是最简形式。

   $\boxed{\dfrac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}}\qquad (x\neq 1,\ x\neq -2)$

6. 6

   代入一个值验证。 当 $x=3$：原式为 $\tfrac{8}{4}+\tfrac{9}{10}=2+0.9=2.9$，答案给出 $\tfrac{9+39+10}{2(2)(5)}=\tfrac{58}{20}=2.9$。两者一致。