解不等式 x² > a²，其中 a 是常数，求 x。

Step-by-step solution

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   不要不加思索地「两边开平方」。 写成 $x>a$ 会丢解，而且可能干脆就是错的：取 $a=-3$，$x=-5$ 满足 $25>9$，可是 $-5>-3$ 并不成立。$a$ 的正负是未知的，所以答案必须写成对任意 $a$ 都成立的形式。

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   把所有项移到一边再分解因式。 这样就把「判正负」的问题换成了两个一次因式的乘积：

   $x^{2}-a^{2}>0\qquad\Longrightarrow\qquad(x-a)(x+a)>0$

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   乘积为正，说明两个因式同号——分两支来看。

   $\text{(i) }x-a>0\ \text{且}\ x+a>0\quad\Longrightarrow\quad x>a\ \text{且}\ x>-a$

   两个下界取较大的那个：$x>\max(a,-a)=|a|$。

   $\text{(ii) }x-a<0\ \text{且}\ x+a<0\quad\Longrightarrow\quad x<a\ \text{且}\ x<-a$

   两个上界取较小的那个：$x<\min(a,-a)=-|a|$。

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   合并成一句话。 两支合起来给出

   $x^{2}>a^{2}\iff x<-|a|\ \text{ 或 }\ x>|a|\iff|x|>|a|$

   所以解集是 $\left(-\infty,-|a|\right)\cup\left(|a|,\infty\right)$。正是这些绝对值让答案在 $a$ 为负时依然成立——它们是通过恒等式 $\max(a,-a)=|a|$ 进来的。

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   跨符号验证，包括退化情形。 取 $19$ 个 $a$ 值（正、负、零都有），每个再配 $31$ 个 $x$ 值，把原不等式与所给解集逐一比对，结果完全一致 ✓。当 $a=0$ 时答案退化为 $|x|>0$，也就是除 $0$ 以外的所有 $x$ ✓——这是自洽的，因为 $x^{2}>0$ 只在 $x=0$ 处不成立。