把 a⁶ + b⁶ 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   选一种对「和」有效的拆法。 指数 $6$ 既可以看成 $2\times3$，也可以看成 $3\times2$。若读成平方，即 $\left(a^{3}\right)^{2}+\left(b^{3}\right)^{2}$，那是平方和，分解不了。读成立方就行得通：

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}$

   这里的经验是：和式要靠奇数次幂才分解得动——本题里藏着的奇数次幂就是那个 $3$。

2. 2

   套用立方和公式 $u^{3}+v^{3}=(u+v)\left(u^{2}-uv+v^{2}\right)$，取 $u=a^{2}$、$v=b^{2}$：

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\left(a^{2}\right)^{2}-a^{2}b^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}\right)$

3. 3

   化简其中的幂。 由于 $\left(a^{2}\right)^{2}=a^{4}$、$\left(b^{2}\right)^{2}=b^{4}$：

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   中间项是 $-a^{2}b^{2}$，也就是乘积 $uv$——不是 $-2a^{2}b^{2}$，那个属于完全平方式。

4. 4

   展开并做数值验证。 展开得 $a^{6}-a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}=a^{6}+b^{6}$ ✓——中间四项两两抵消。在 $-8\le a,b\le8$ 的全部 $289$ 组整数上恒等式都成立 ✓。抽查 $a=2,b=1$：$64+1=65$，而 $(5)(16-4+1)=5\cdot13=65$ ✓。

5. 5

   说明为什么在整数范围内到此为止。 $a^{2}+b^{2}$ 是平方和，在实数范围内不可约。四次式 $a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}$ 也没有实的一次因式——它等于 $\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-3a^{2}b^{2}$，虽然形式上是平方差，但拆开会引入 $\sqrt3$，那就不是整数范围内的分解了。所以这个两因式的答案在 $\mathbb{Z}$ 上已经完整。