展开并化简 (√2 + √3 + √5)²。

Step-by-step solution

1. 1

   用三项和的平方公式。 对任意 $a,b,c$，

   $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

   交叉项有三个，不是一个——漏掉其中一对，正是三项平方的经典错误。

2. 2

   把每一项平方。 平方会把根号彻底消掉：

   $\left(\sqrt2\right)^{2}+\left(\sqrt3\right)^{2}+\left(\sqrt5\right)^{2}=2+3+5=10$

3. 3

   写出三个交叉项。 每个都是一对因子乘积的两倍，且 $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$：

   $2\sqrt2\sqrt3=2\sqrt6,\qquad 2\sqrt3\sqrt5=2\sqrt{15},\qquad 2\sqrt5\sqrt2=2\sqrt{10}$

4. 4

   全部相加。 $\sqrt6$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{15}$ 都不能再化简，彼此之间也不能合并，因为 $6$、$10$、$15$ 都不含平方因数而且两两不同：

   $\boxed{10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}$

5. 5

   数值验算。 $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5=1.41421+1.73205+2.23607=5.38233$，而 $5.38233^{2}=28.9695$。答案这边给出 $10+2(2.44949)+2(3.16228)+2(3.87298)=10+4.89898+6.32456+7.74597=28.9695$ ✓。