解方程组 1/x + 1/y = 8 与 6/x + 12/y = 1。

Step-by-step solution

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   换元，把分母去掉。 未知数只以 $1/x$ 和 $1/y$ 的形式出现，所以令 $a=\frac1x,\qquad b=\frac1y$ 就把方程组变成线性的 $a+b=8,\qquad 6a+12b=1.$ 若改成直接乘开去分母，反而会得到一个乱七八糟的二次方程组——换元干净得多。

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   化简第二个方程。 把 $6a+12b=1$ 两边同除以 $6$，得 $a+2b=\frac16.$ 现在两个方程里 $a$ 的系数相同，一次相减就能消元。

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   消去 $a$，求出 $b$。 用第二式减第一式， $\left(a+2b\right)-\left(a+b\right)=\frac16-8\quad\Longrightarrow\quad b=\frac16-\frac{48}{6}=-\frac{47}{6}.$ $b$ 是负数完全没问题——它只是说明 $y$ 最后会算出负值。

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   回代求出 $a$。 由 $a+b=8$ 得 $a=8+\frac{47}{6}=\frac{48}{6}+\frac{47}{6}=\frac{95}{6}.$

5. 5

   取倒数还原 $x$ 和 $y$。 因为 $a=1/x$、$b=1/y$， $x=\frac{1}{a}=\frac{6}{95},\qquad y=\frac{1}{b}=-\frac{6}{47}.$ 两个都不为零，所以原方程的分母都合法，不用舍掉任何解。

6. 6

   代回原方程检验。 $\dfrac{1}{x}=\dfrac{95}{6}$、$\dfrac{1}{y}=-\dfrac{47}{6}$，于是第一个方程给出 $\dfrac{95}{6}-\dfrac{47}{6}=\dfrac{48}{6}=8$，第二个方程给出 $6\cdot\dfrac{95}{6}+12\cdot\left(-\dfrac{47}{6}\right)=95-94=1$。两式都精确成立，完全没有四舍五入。