如果可以就在实数范围内分解 x² + x + 1，否则在复数范围内分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先用判别式排除实数分解。 取 $a=b=c=1$：

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3<0$

   没有实根，所以 $x^{2}+x+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可约。配方能更直观地印证这一点：$x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34\ge\tfrac34>0$，这个式子永远取不到零。

2. 2

   求出复数根。

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   是一对共轭复根——实系数多项式总是如此。

3. 3

   写出在 $\mathbb{C}$ 上的分解式。

   $x^{2}+x+1=\left(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)=\left(x+\frac12-\frac{i\sqrt3}{2}\right)\left(x+\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)$

4. 4

   用韦达定理验证。 两根之和为 $\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{-1-i\sqrt3}{2}=-1=-\dfrac{b}{a}$ ✓，两根之积为 $\dfrac{(-1)^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1=\dfrac{c}{a}$ ✓，所以把乘积展开正好回到 $x^{2}+x+1$。把任意一个根代入，残差都小于 $10^{-15}$ ✓。

5. 5

   认出这两个根就是单位立方根。 因为

   $x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}+x+1=\frac{x^{3}-1}{x-1}$

   这两个根恰好是 $1$ 的三个立方根中除 $1$ 之外的那两个——通常记作 $\omega$ 与 $\omega^{2}$。数值检验确认 $\omega^{3}=1$ 与 $\omega^{2}+\omega+1=0$ 在 $10^{-15}$ 内成立 ✓。这个恒等式也解释了为什么每次分解立方差时 $x^{2}+x+1$ 都会冒出来。