解方程 27x³ − 54x² + 36x − 8 = 0。

Step-by-step solution

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   先找完全立方，别急着上三次方程求根公式。 首项和末项都是完全立方：

   $27x^{3}=(3x)^{3},\qquad 8=2^{3}.$

   符号交替出现（$+,-,+,-$）提示这是差的形式 $(a-b)^{3}$，所以在动用更麻烦的方法之前，值得先试一下 $a=3x$、$b=2$。认出这个形状，就把一个三次方程变成了一行的事。

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   展开 $(3x-2)^{3}$ 逐项比对。 用 $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$：

   $(3x-2)^{3}=(3x)^{3}-3(3x)^{2}(2)+3(3x)(2)^{2}-2^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8.$

   每个系数都和原式一致。中间两项要仔细核：$3\cdot 9x^{2}\cdot 2=54x^{2}$，$3\cdot 3x\cdot 4=36x$——如果猜错了，恰恰是这两项会对不上。

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   把方程写成因式形式。 于是方程就是

   $(3x-2)^{3}=0.$

   一个立方等于零，只可能是它的底数等于零，因为无论在实数还是复数范围内都有 $t^{3}=0\iff t=0$。不存在第二种情况需要讨论。

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   解这个一次方程。 由 $3x-2=0$：

   $3x=2\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}.$

   所以这个三次方程只有一个根 $x=\tfrac23$，重数为三——这个三次多项式的三个根完全重合。从图像上看，曲线在该点是压向 $x$ 轴变平，而不是陡陡地穿过去。

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   用代入和韦达定理各检验一次。 代入：$27\cdot\tfrac{8}{27}-54\cdot\tfrac49+36\cdot\tfrac23-8=8-24+24-8=0$ ✓。韦达定理也吻合：三个根之和应为 $-\tfrac{-54}{27}=2=3\times\tfrac23$ ✓，三根之积应为 $\tfrac{8}{27}=\left(\tfrac23\right)^{3}$ ✓。