设 a、b、c 为正实数，求 P = (a/(a+b))⁴ + (b/(b+c))⁴ + (c/(c+a))⁴ 的最小值。

Step-by-step solution

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   换元，把隐藏的约束摆到明面上。 令 $u=\dfrac{b}{a}$、$v=\dfrac{c}{b}$、$w=\dfrac{a}{c}$，这样自动就有 $uvw=1$。于是 $x=\frac{a}{a+b}=\frac{1}{1+u},\quad y=\frac{1}{1+v},\quad z=\frac{1}{1+w},\qquad P=x^4+y^4+z^4.$

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   先把取等的情形猜出来。 取 $a=b=c$ 得 $x=y=z=\tfrac12$，$P=3\left(\frac12\right)^4=\frac{3}{16}.$ 剩下的工作，就是证明没有别的取法能比它更小。

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   借平方和往下降一级。 对 $x^2,y^2,z^2$ 用幂平均不等式，$x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}.$ 于是只要证 $x^2+y^2+z^2\ge\tfrac34$ 就够了。（那条诱人的捷径 $x+y+z\ge\tfrac32$ 根本不成立 —— 取 $a=1,b=2,c=4$ 只得到 $1.4667$ —— 所以该去估计的是平方和，而不是一次和。）

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   用一个两元的引理。 对一切 $u,v>0$，$\frac{1}{(1+u)^2}+\frac{1}{(1+v)^2}\ge\frac{1}{1+uv},$ 因为去掉分母之后剩下的正是恒等式 $(uv-1)^2+uv(u-v)^2\ge 0$。

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   取 $uv=1/w$ 来用这个引理。 引理给出 $x^2+y^2\ge\dfrac{1}{1+1/w}=\dfrac{w}{1+w}=1-z$，于是 $x^2+y^2+z^2\ge 1-z+z^2=\left(z-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34.$

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   合起来并确认。 因此 $P\ge\frac{(3/4)^2}{3}=\frac{3}{16},$ 取等当且仅当 $z=\tfrac12$ 且 $u=v$，也就是 $a=b=c$。做 $200$ 次随机重启的数值全局搜索，最低也停在 $0.1875$，对应 $a:b:c=1:1:1$。