解不等式 (2x + 1)(3x − 1)² 除以 (x³ × (√2 − 1)) 小于或等于 0。

Step-by-step solution

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   先处理那个常数因子。 $\sqrt2\approx 1.4142>1$，所以 $\sqrt2-1>0$。除以一个正常数不会改变不等号的方向，因此可以直接把它丢掉：

   $\frac{(2x+1)(3x-1)^{2}}{x^{3}}\le 0.$

2. 2

   按每个因式对符号的影响给它们分类。 临界值是 $x=-\tfrac12$、$x=0$ 和 $x=\tfrac13$。

   • $(2x+1)$ 在 $-\tfrac12$ 处变号；
   • $(3x-1)^{2}$ 是偶次方，所以处处 $\ge 0$，永远不会翻转符号——它只在 $\tfrac13$ 处取零；
   • $x^{3}$ 是奇次方，所以在 $0$ 处翻转符号，和 $x$ 完全一样；
   • $x=0$ 不在定义域内。
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   化归成一个更简单的商式的符号问题。 在 $x=\tfrac13$ 之外，因式 $(3x-1)^2$ 严格为正，所以在数轴的其余部分上，原不等式与下式的符号表现完全一致：

   $\frac{2x+1}{x}\le 0.$

4. 4

   在被 −1/2 和 0 切开的区间上列符号表。

   $x<-\tfrac12:\ \tfrac{(-)}{(-)}=+\quad;\quad -\tfrac12<x<0:\ \tfrac{(+)}{(-)}=-\quad;\quad x>0:\ \tfrac{(+)}{(+)}=+.$

   所以这个商恰好在 $\left(-\tfrac12,0\right)$ 上为负。

5. 5

   再补上取等的情形。 不等式是非严格的，所以凡是表达式有定义且等于零的点都要算进来：$x=-\tfrac12$（来自 $2x+1=0$）和 $x=\tfrac13$（来自 $(3x-1)^2=0$）。而 $x=0$ 依然排除，因为分母在那里为零。

6. 6

   写出解集。

   $x\in\left[-\tfrac12,\,0\right)\cup\left\{\tfrac13\right\}.$

   孤立点 $\tfrac13$ 是这道题最值得记住的地方：偶次因式不带来符号变化，但在非严格不等式里，它的根依然会作为一个单独的解冒出来。抽查也印证了这一点——$x=\tfrac13$ 时表达式为 $0$，而 $x=0.4$ 时它是正的。