化简 (x + y)(x − y) + 4(y − 1)，并把结果因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   用平方差公式展开乘积。

   $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

   逐项相乘也能得到同样的结果，但用公式可以直接跳过那两个互相抵消的交叉项。

2. 2

   展开第二个括号。

   $4(y-1) = 4y - 4$

3. 3

   合并成化简后的式子。

   $x^2 - y^2 + 4y - 4$

   这几项里没有任何两项是同类项，所以这就是完全展开后的最简形式。

4. 4

   发现第二个平方差。 把后三项分成一组并提出 $-1$：

   $-y^2 + 4y - 4 = -\left(y^2 - 4y + 4\right) = -(y-2)^2$

   于是整个式子就是 $x^2 - (y-2)^2$——又是一个两数平方之差。

5. 5

   因式分解。

   $x^2 - (y-2)^2 = \left(x - (y-2)\right)\left(x + (y-2)\right) = (x - y + 2)(x + y - 2)$

6. 6

   取 (x, y) = (3, 5) 做数值验算。 原式为 $(8)(-2) + 4(4) = -16 + 16 = 0$。展开形式给出 $9 - 25 + 20 - 4 = 0$。分解形式给出 $(3-5+2)(3+5-2) = 0 \times 6 = 0$。三者一致，而且结果为零并非偶然：$x = y - 2$ 正好让第一个因式为零。