把 x⁴ + x² − 2ax + 1 − a² 彻底因式分解。

Step-by-step solution

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   从首尾两项入手，找一个值得凑的平方。 $x^4$ 和 $+1$ 提示我们去凑 $\left(x^2+1\right)^2=x^4+2x^2+1$。拿它和手里的式子比一比：题目里只有一个 $x^2$，所以差了一个 $x^2$，另外还多带着 $-2ax-a^2$。

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   把这笔账明明白白地算出来。

   $x^4+x^2-2ax+1-a^2=\left(x^4+2x^2+1\right)-x^2-2ax-a^2=\left(x^2+1\right)^2-\left(x^2+2ax+a^2\right)$

   右边括号里本身又是一个完全平方 $(x+a)^2$。于是整个式子就是

   $\left(x^2+1\right)^2-(x+a)^2$

   这是关键的一步，它也说明「对任意的 $a$ 这个式子分解不出漂亮结果」的说法站不住脚。

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   套用平方差公式。 取 $A=x^2+1$、$B=x+a$：

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)=\left(x^2+1-x-a\right)\left(x^2+1+x+a\right)$

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   把两个括号整理一下。

   $\left(x^2-x+1-a\right)\left(x^2+x+1+a\right)$

   两个因式都是关于 $x$ 的二次式，参数只出现在常数项里。

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   展开验算。 乘开之后，$x^3$ 项相消（$-x^3+x^3$）；交叉项合并后 $x^2$ 项剩下 $x^2+x^2-x^2=x^2$；一次项收拢成 $-2ax$；常数项给出 $(1-a)(1+a)=1-a^2$ —— 完整还原了原式。随机取一组数值（$x=1.5$、$a=0.7$）检验，两边的值也相同。

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   再看看 $a=0$ 这个特例是否合理。 分解式变成

   $\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^4+x^2+1$

   这正是那个众所周知的恒等式 —— 而在原式里令 $a=0$，得到的确实也是 $x^4+x^2+1$ ✓。