把 3x³ + 7x² − 4 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   从首末两个系数出发列出候选根。 有理根 $p/q$ 必须满足 $p\mid 4$ 且 $q\mid 3$：

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm\tfrac13,\ \pm\tfrac23,\ \pm\tfrac43$

2. 2

   先试好算的整数。 记 $f(x)=3x^3+7x^2-4$：

   $f(-1)=-3+7-4=0$

   所以 $x=-1$ 是根，$(x+1)$ 是一个因式。

3. 3

   用综合除法除以 $(x+1)$。 系数为 $3,\,7,\,0,\,-4$，除数取 $-1$：

   $3\quad 4\quad -4\ \ |\ \ 0$

   商是 $3x^2+4x-4$，余数为零。

4. 4

   用 AC 法分解这个二次式。 $ac=3\cdot(-4)=-12$，要找一对和为 $4$ 的数，也就是 $6$ 与 $-2$：

   $3x^2+6x-2x-4=3x(x+2)-2(x+2)=(3x-2)(x+2)$

5. 5

   拼起来并验证。

   $3x^3+7x^2-4=(x+1)(x+2)(3x-2)$

   展开验证：$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$，再乘 $(x^2+3x+2)(3x-2)=3x^3-2x^2+9x^2-6x+6x-4=3x^3+7x^2-4$ $\checkmark$。三个根分别是 $-1$、$-2$ 和 $\tfrac23$；顺手核一下 $f\left(\tfrac23\right)=3\cdot\tfrac{8}{27}+7\cdot\tfrac49-4=\tfrac89+\tfrac{28}{9}-4=0$ $\checkmark$。