若 2x^(2a − b − 1) − 3y^(3a + 2b − 16) = 10 是二元一次方程，求 a 和 b 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   把「二元一次方程」翻译成对指数的条件。 按定义，这样的方程里 $x$ 与 $y$ 都必须以一次幂出现，且系数不为零。系数 $2$ 与 $-3$ 本来就不为零，所以唯一的要求是

   $2a-b-1=1\qquad\text{且}\qquad 3a+2b-16=1$

2. 2

   把两个条件整理成方程组。

   $\begin{cases}2a-b=2\\3a+2b=17\end{cases}$

3. 3

   用代入法求解。 由第一个方程得 $b=2a-2$，代入第二个方程：

   $3a+2(2a-2)=17\quad\Longrightarrow\quad 3a+4a-4=17\quad\Longrightarrow\quad 7a=21\quad\Longrightarrow\quad a=3$

4. 4

   回代求 b。

   $b=2(3)-2=4$

   $\boxed{a=3,\ b=4}$

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   验证两个指数确实都变成 1。 $2a-b-1=6-4-1=1$ ✓，$3a+2b-16=9+8-16=1$ ✓，于是方程变成 $2x-3y=10$——一眼就是一次的。两个指数都要验（不能只验一个），因为只满足其中一个条件的解会留下一个多余的平方项或立方项。