多项式 (−2x³y² + 4x²y³ − 3xy⁴) − (6x⁴y − 5x²y³ − y⁵) 的差是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   把减号分配到第二个括号里的每一项。 减法会让括号内每一项都变号，本来就是负号的那些也不例外：

   $-(6x^4y - 5x^2y^3 - y^5) = -6x^4y + 5x^2y^3 + y^5$

   常见错误是只给第一项变号，那样会写成 $-x^2y^3 - y^5$，与正确结果不符。

2. 2

   把去掉括号后的完整式子写出来。

   $-2x^3y^2 + 4x^2y^3 - 3xy^4 - 6x^4y + 5x^2y^3 + y^5$

3. 3

   分辨哪些项才真是同类项。 在二元的情形下，只有两个字母的指数都相同才算同类项。比较各个单项式 $x^4y$、$x^3y^2$、$x^2y^3$、$xy^4$、$y^5$，重复出现的只有 $x^2y^3$，它出现了两次，其余各项都只出现一次。

4. 4

   把唯一的一对同类项合并。

   $4x^2y^3 + 5x^2y^3 = 9x^2y^3$

   系数之所以变成 $+9$，是因为前面去括号时已经把 $-5x^2y^3$ 变成了 $+5x^2y^3$。

5. 5

   按 x 的降幂排列结果。 把留下来的项从 $x$ 的最高次开始收拢：

   $-6x^4y - 2x^3y^2 + 9x^2y^3 - 3xy^4 + y^5$

   每一项的总次数都是 $5$，对这样一个齐次式来说，这是很好用的一致性检验。

6. 6

   代入数值验证。 取 $x = 2$，$y = 1$：原式为 $(-16 + 16 - 6) - (96 - 20 - 1) = -6 - 75 = -81$，答案式为 $-96 - 16 + 36 - 6 + 1 = -81$。两者一致，说明五个系数都没错。