解绝对值方程 |3x − 5| = 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认右边是正数。 绝对值表示距离，永远非负。这里右边是 $5>0$，说明方程有解，而且恰好有两个——数轴上到零点距离为 $5$ 的点有两个。

2. 2

   把一个方程拆成两个。 $|A|=5$ 说的是 $A$ 到 $0$ 的距离为 $5$，因此 $A=5$ 或 $A=-5$。取 $A=3x-5$：

   $3x-5=5\qquad\text{或}\qquad 3x-5=-5$

   这一步既没丢解也没多解——两种情形合起来与原方程完全等价。

3. 3

   解正的那一种情形。 两边加 $5$，再除以 $3$：

   $3x=10\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10}{3}$

4. 4

   解负的那一种情形。 同样两边加 $5$，这次右边恰好变成零：

   $3x-5=-5\quad\Longrightarrow\quad 3x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0$

5. 5

   把两个答案都代回去。 检验成本很低，却能抓住符号上的疏漏：

   $\left|3\cdot\tfrac{10}{3}-5\right|=|10-5|=5\qquad\checkmark$
   $|3\cdot 0-5|=|-5|=5\qquad\checkmark$

   两个值都满足原方程，所以解集是 $\left\{0,\tfrac{10}{3}\right\}$。