展开并化简 (1 + x + x² + x³) 的平方，再减去 x 的三次方。

Step-by-step solution

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   用数下标配对代替 16 项硬乘来求平方。 在 $(1+x+x^2+x^3)^2$ 中，$x^k$ 的系数就是满足 $i+j=k$ 且 $0\le i,j\le 3$ 的有序对 $(i,j)$ 的个数。数一数：$k=0$ 有 $1$ 对，$k=1$ 有 $2$ 对，$k=2$ 有 $3$ 对，$k=3$ 有 $4$ 对（即 $0{+}3,1{+}2,2{+}1,3{+}0$），$k=4$ 有 $3$ 对，$k=5$ 有 $2$ 对，$k=6$ 有 $1$ 对。

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   写出平方的结果。

   $(1+x+x^2+x^3)^2=1+2x+3x^2+4x^3+3x^4+2x^5+x^6$

   系数正着读和倒着读一样，这在意料之中：回文多项式的平方仍然是回文的。

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   在 $x=1$ 处检验这个平方。 底数变成 $1+1+1+1=4$，所以平方必须是 $16$；而 $1+2+3+4+3+2+1=16$。第一步只要数错一个，这里立刻露馅。（顺带一提，当 $x\neq 1$ 时 $1+x+x^2+x^3=\frac{x^4-1}{x-1}$，所以这个平方也等于 $\frac{(x^4-1)^2}{(x-1)^2}$。）

4. 4

   减去 $x^3$。 只有一个系数受影响 —— 三次项从 $4$ 降到 $3$：

   $1+2x+3x^2+(4-1)x^3+3x^4+2x^5+x^6$

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   写出结果，并在 $x=2$ 处验证。 按降幂排列：

   $x^6+2x^5+3x^4+3x^3+3x^2+2x+1$

   当 $x=2$ 时，原式是 $(1+2+4+8)^2-8=15^2-8=217$，而展开式给出 $64+64+48+24+12+4+1=217$。两边一致，说明展开无误。