解连不等式 (x + 1)(x + 2) ≥ (x + 3)(x + 4) ≥ (x + 5)(x + 6)，并把解集写成区间形式。

Step-by-step solution

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   把连不等式拆成两个独立的不等式。 形如 $A\ge B\ge C$ 的写法，是两个必须同时成立的条件的简写：

   $\text{(I)}\quad (x+1)(x+2)\ge(x+3)(x+4),\qquad \text{(II)}\quad (x+3)(x+4)\ge(x+5)(x+6)$

   最终答案是这两个解集的交集，而不是并集。很多人会想直接比较两头的 $(x+1)(x+2)$ 和 $(x+5)(x+6)$，但那是一个更弱的条件，会得出一个（偏大的）错误解集。

2. 2

   把 (I) 两边展开，看二次项如何抵消。 乘开后得到

   $x^2+3x+2\ \ge\ x^2+7x+12$

   两边的首项都恰好是 $x^2$，所以两边同时减去 $x^2$ 是合法的，剩下一个一次不等式：

   $3x+2\ \ge\ 7x+12$

   这个抵消正是本题的关键：因为这些依次平移的乘积首项系数都是 $1$，所以既不需要符号表，也不用分析抛物线。

3. 3

   解一次不等式 (I)。 把含 $x$ 的项移到一边：

   $3x+2\ge 7x+12\ \Longrightarrow\ -10\ge 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}$

   两边同除以正数 $4$ 不改变不等号方向；只有乘或除以负数时方向才要反过来。把 $-\tfrac52\ge x$ 从右往左读，就是 $x\le-\tfrac52$。

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   对 (II) 做同样的处理。 展开后，

   $x^2+7x+12\ \ge\ x^2+11x+30\ \Longrightarrow\ 7x+12\ \ge\ 11x+30$

   $-18\ \ge\ 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{18}{4}=-\frac{9}{2}$

5. 5

   把两个条件取交集。 我们需要 $x\le-\tfrac52$ 且 $x\le-\tfrac92$ 同时成立。由于 $-\tfrac92=-4.5$ 位于 $-\tfrac52=-2.5$ 的左边，第二个条件更严格，它自动蕴含第一个：

   $x\le-\frac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-\infty,\,-\frac{9}{2}\right]$

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   取一个解集内的值和一个解集外的值验证。 当 $x=-5$ 时：$(-4)(-3)=12$，$(-2)(-1)=2$，$(0)(1)=0$，而 $12\ge2\ge0$ 成立。✓ 当 $x=-4$ 时（它满足 (I) 但不满足 (II)）：$(-3)(-2)=6$，$(-1)(0)=0$，$(1)(2)=2$，而 $0\ge2$ 不成立。✗ 这说明取交集而不是并集才是对的，也说明端点 $x=-\tfrac92$ 要包含在内，因为两个不等式都允许取等号。