解不等式组：-x^2 + 3x + 4 ≥ 0 且 3x^2 - 2x ≥ 0，把解集写成区间的并集。

Step-by-step solution

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   思路：先各解各的，再取交集。 用且连接的不等式组，只有在两个条件同时成立的地方才被满足，所以答案是两个解集的交集。想一步把它们一起解出来是做不到的；可靠的办法是分别做两次符号分析，最后在一条数轴上汇总。

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   先把第一个不等式的二次项系数变成正的。 给 $-x^{2}+3x+4\ge 0$ 两边同乘 $-1$，不等号方向要反过来：

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   两个因式之积 $\le 0$ 发生在两根之间，开口向上的抛物线也正是在两根之间位于 $x$ 轴下方，所以

   $-1\le x\le 4.$

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   第二个不等式提取公因式来分解。 它没有常数项，所以直接把 $x$ 提出来，不必动用求根公式：

   $3x^{2}-2x=x(3x-2)\ge 0,$

   两根为 $x=0$ 和 $x=\tfrac23$。这条抛物线同样开口向上，所以它在两根之外才 $\ge 0$：

   $x\le 0\quad\text{或}\quad x\ge \tfrac23.$

   注意这里的方向与上一步正好相反——对开口向上的抛物线来说，$\le$ 和 $\ge$ 的区别全在于此。

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   在同一条数轴上取交集。 第一个解集是 $[-1,4]$；第二个是 $(-\infty,0]\cup[\tfrac23,\infty)$。把第一个分别与第二个的每一段相截：

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad [-1,4]\cap\left[\tfrac23,\infty\right)=\left[\tfrac23,4\right].$

   所以解集是 $[-1,0]\cup\left[\tfrac23,4\right]$。中间的空档 $\left(0,\tfrac23\right)$ 被排除，是因为在那里 $x(3x-2)<0$。

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   检验四个端点，并在每个区域各取一点验算。 取 $x=0.3$（落在空档里）：$-0.09+0.9+4=4.81\ge0$ ✓，但 $3(0.09)-0.6=-0.33<0$ ✗，所以 $0.3$ 被排除是对的。取 $x=-0.5$：$-0.25-1.5+4=2.25\ge0$ ✓ 且 $0.75+1=1.75\ge0$ ✓。取 $x=2$：$6\ge0$ ✓ 且 $12-4=8\ge0$ ✓。取 $x=4.5$：$-20.25+13.5+4<0$ ✗。四个端点都使某一个因式恰好取等号，所以它们都属于这个闭集。