解方程 40x + 30x + 30x + 2x^2 = 450。

Step-by-step solution

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   先把一次项合并。 这三项里 $x$ 的次数都相同：

   $40x + 30x + 30x = 100x \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 100x = 450$

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   把所有项移到一边，再除掉公因数。

   $2x^2 + 100x - 450 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 50x - 225 = 0$

   除以 $2$ 后二次项系数变成 1，无论是找因式还是套公式都更省事。

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   先试试能不能在整数范围内因式分解。 那需要两个整数，乘积为 $-225$、和为 $50$。$225$ 的因数对有 $(1,225), (3,75), (5,45), (9,25), (15,15)$，对应可能的和是 $\pm224, \pm72, \pm40, \pm16, 0$ —— 没有一个是 $50$。所以整数分解不存在，只能用求根公式。

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   套求根公式。 由 $a = 1$、$b = 50$、$c = -225$：

   $b^2 - 4ac = 2500 + 900 = 3400, \qquad \sqrt{3400} = 10\sqrt{34} \approx 58.309519$

   $x = \frac{-50 \pm 10\sqrt{34}}{2} = -25 \pm 5\sqrt{34}$

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   把两个根都算出来。

   $x_1 = -25 + 5\sqrt{34} \approx 4.154759, \qquad x_2 = -25 - 5\sqrt{34} \approx -54.154759$

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   验证，并否掉一个常见错答案。 对 $x_1$：$2(4.154759)^2 + 100(4.154759) = 34.52404 + 415.47590 = 449.99994$。对 $x_2$：$5865.47584 - 5415.47590 = 449.99994$（那一点点差额只是 $\sqrt{34}$ 的舍入）。韦达定理也对得上 —— 和 $= -50$，积 $= -225$。经常见到的答案 $x = 5$ 或 $x = -55$ 是错的：两者都给出 $2x^2 + 100x = 550$ 而不是 $450$，因为 $55 \times (-5) = -275$，并不是 $-225$。