展开并化简 (10x³ + 3x + 8)(4x³ − 8x − 9)。

Step-by-step solution

1. 1

   先规划一下怎么展开。 两个因式各有三项，用分配律会产生 $3\times 3=9$ 个乘积。注意两个因式里都没有 $x^{2}$ 项——恰恰是这些缺失的次数最容易出现符号错误和漏项，所以要把每一项的次数明确标出来。

2. 2

   先用首项 $10x^{3}$ 去乘。

   $10x^{3}\left(4x^{3}-8x-9\right)=40x^{6}-80x^{4}-90x^{3}$

3. 3

   再用中间项 $3x$ 去乘。

   $3x\left(4x^{3}-8x-9\right)=12x^{4}-24x^{2}-27x$

4. 4

   最后用常数项 $8$ 去乘。

   $8\left(4x^{3}-8x-9\right)=32x^{3}-64x-72$

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   把这九项按次数归并。 一档一档对齐来看：

   $\begin{aligned}x^{6}&:\ 40x^{6}\\ x^{5}&:\ \text{无}\\ x^{4}&:\ -80x^{4}+12x^{4}=-68x^{4}\\ x^{3}&:\ -90x^{3}+32x^{3}=-58x^{3}\\ x^{2}&:\ -24x^{2}\\ x&:\ -27x-64x=-91x\\ \text{常数项}&:\ -72\end{aligned}$

6. 6

   写出结果，再检查两端。 展开式是

   $40x^{6}-68x^{4}-58x^{3}-24x^{2}-91x-72$

   两个快速检验：最高次项系数必须是 $10\times 4=40$ ✓，常数项必须是 $8\times(-9)=-72$ ✓。第三个检验是在 $x=1$ 处比较两种写法：原式给出 $(10+3+8)(4-8-9)=21\times(-13)=-273$，展开式给出 $40-68-58-24-91-72=-273$ ✓