解五次方程 40x⁵ − 51x⁴ + 10 = 0。

Step-by-step solution

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   先排除有理根。 候选为 $\pm\tfrac{d}{e}$，其中 $d \mid 10$，$e \mid 40$。抽查几个：$f(1) = -1$，$f(-1) = -81$，$f\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac{129}{16} = 8.0625$，$f\!\left(-\tfrac12\right) = \tfrac{89}{16} = 5.5625$，$f\!\left(\tfrac54\right) = 7.5586$。都不为零；而由阿贝尔-鲁菲尼定理，一般的五次方程没有根式解，所以只能用数值方法把根定出来。

2. 2

   用变号来把实根框住。 把 $f(x) = 40x^5 - 51x^4 + 10$ 列成表：

   $f(-1) = -81, \quad f(-0.7) = -8.968, \quad f(-0.5) = 5.563, \quad f(0) = 10, \quad f(0.9) = 0.159, \quad f(1) = -1, \quad f(1.1) = -0.249, \quad f(1.2) = 3.779$

   每一次变号都困住一个根：$(-0.7,\,-0.5)$ 里一个，$(0.9,\,1)$ 里一个，$(1.1,\,1.2)$ 里一个。又因为 $x \to -\infty$ 时 $f \to -\infty$、$x \to +\infty$ 时 $f \to +\infty$，这三个就是全部实根。

3. 3

   把每个区间逐步收窄。 在各区间上用二分法或牛顿法迭代，收敛到

   $x_1 \approx -0.603957, \qquad x_2 \approx 0.909281, \qquad x_3 \approx 1.110778$

4. 4

   把剩下那对共轭复根找回来。 五次方程有五个根。除掉这三个实根之后，剩下一个二次因式，它的根是

   $x \approx -0.070551 \pm 0.636284\,i$

5. 5

   用系数关系验证。 五个根之和必须等于 $\tfrac{51}{40} = 1.275$：$-0.603957 + 0.909281 + 1.110778 + 2(-0.070551) = 1.275000$。五根之积必须等于 $-\tfrac{10}{40} = -0.25$（次数是 5，所以符号要翻转）：$(-0.603957)(0.909281)(1.110778)\left(0.070551^2 + 0.636284^2\right) = -0.250000$。直接代入的话，每个实根都有 $|f(x_i)| < 10^{-4}$。

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   提醒一句：网上流传着一组错值。 有人给这个方程报出 $-0.6487,\ 0.7606,\ 1.2264$ 这三个数，但 $f(-0.6487) = -3.63$、$f(0.7606) = 3.11$、$f(1.2264) = 5.60$ —— 一个都不是根。