设 g(x) 在 −2 < x ≤ 5 时等于 2x − 4，在 x > 5 时等于 x² − 2x + 3。求 g(−1)、g(7)、g(0) 和 g(−2)。

Step-by-step solution

1. 1

   给分段函数定好操作顺序。 对每一个输入，先用条件判断该用哪一段，然后才代入。代错分支，就是这道题唯一的翻车方式。

2. 2

   (a) g(−1)。 $-2<-1\le 5$ 成立吗？成立，所以用第一段：

   $g(-1)=2(-1)-4=-2-4=-6.$

3. 3

   (b) g(7)。 $7>5$ 成立吗？成立，所以用第二段：

   $g(7)=7^{2}-2(7)+3=49-14+3=38.$

4. 4

   (c) g(0)。 $-2<0\le 5$ 成立吗？成立，还是第一段：

   $g(0)=2(0)-4=-4.$

5. 5

   (d) g(−2) —— 要盯紧不等号。 第一段要求 $-2<x$，这是严格不等号，所以 $x=-2$ 不合格。第二段要求 $x>5$，$-2$ 同样不满足。没有任何一段管到 $-2$，所以

   $g(-2)\ \text{无定义。}$

   如果条件写成 $-2\le x\le 5$，答案就会是 $2(-2)-4=-8$。整道题就卡在这一个字符上。

6. 6

   顺带把定义域写出来。 两个条件合起来覆盖 $(-2,5]\cup(5,\infty)=(-2,\infty)$，所以 $g$ 对每个 $x>-2$ 有定义，除此之外都没有。另外注意两段并没有接上：第一段在 $x=5$ 处取到 $2(5)-4=6$，而第二段在刚过 $5$ 时趋于 $25-10+3=18$，所以图像在 $x=5$ 处有一个跳跃。