求函数 f(x) = 2 / (x² − 12x + 35) 的定义域，用区间形式作答。

Step-by-step solution

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   先弄清分式函数唯一的限制是什么。 分子 $2$ 无害，多项式对每个实数都有定义，所以定义域就是除去分母零点之外的一切。这里既没有根号也没有对数，唯一的隐患就是除以零。数字很友好，所以走分解因式的路子，不必搬求根公式。

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   把分母分解因式。 找两个数，乘积是 $35$、和是 $-12$；两个都得是负的，$-5$ 与 $-7$ 正合适：

   $x^{2}-12x+35=(x-5)(x-7)$

   乘回去得 $x^{2}-7x-5x+35=x^{2}-12x+35$，说明分解没错。

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   解出要排除的值。 乘积为零，当且仅当某个因式为零：

   $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5,\qquad x-7=0\ \Rightarrow\ x=7$

   在这两处分母为零而分子仍然是 $2$，所以 $f$ 在那里是竖直渐近线，而不是可以补上的空心点。

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   把这两个点从实数轴上挖掉。 从 $\mathbb{R}$ 里去掉两个孤立点，它就被切成三段区间：

   $(-\infty,5)\cup(5,7)\cup(7,\infty)$

   四个端点一律用小括号—— $5$ 和 $7$ 是因为被排除，$\pm\infty$ 是因为它们根本不是数。

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   在排除点两侧各抽查一次。 当 $x=6$ 时分母是 $36-72+35=-1$，于是 $f(6)=-2$，是中间那段区间里一个合法的取值。当 $x=5$ 时分母是 $25-60+35=0$，$f(5)$ 无定义，与答案完全吻合。