设 W₁ 和 W₂ 是 n 维欧氏空间 V 的子空间，且 dim W₁ < dim W₂。证明 W₂ 中含有一个与 W₁ 的每个向量都正交的非零向量。

Step-by-step solution

1. 1

   把结论改写成"某个核非平凡"。 "存在非零的 $v\in W_2$ 与 $W_1$ 中所有向量正交"，说的正是

   $W_2\cap W_1^{\perp}\ne\{0\}.$

   把一个存在性命题转化成维数命题，是这道题变得例行化的关键：维数可以数，单个向量没法数。

2. 2

   构造一个以该集合为核的线性映射。 定义

   $T:W_2\to W_1^{*},\qquad T(x)(y)=\langle x,y\rangle\ \ \text{对每个 }y\in W_1.$

   由于内积对 $x$ 是线性的，$T$ 也是线性的。它把 $W_2$ 中的每个向量送到它在 $W_1$ 上诱导出的线性泛函。

3. 3

   看清这个映射的核是什么。 $T(x)$ 是零泛函，当且仅当对每个 $y\in W_1$ 都有 $\langle x,y\rangle=0$，于是

   $\ker T=\{x\in W_2:\;x\perp W_1\}=W_2\cap W_1^{\perp}.$

   现在只要证明 $\ker T\ne\{0\}$，原命题就成立了。

4. 4

   估计像空间的维数。 $T$ 的像含于 $W_1^{*}$ 之中，而 $\dim W_1^{*}=\dim W_1$，所以

   $\dim(\operatorname{Im}T)\le \dim W_1.$

   这是整个证明里唯一用到已知条件的地方，也是严格不等号将要发挥作用的地方。

5. 5

   用秩零化度定理。 由 $\dim W_2=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)$ 得

   $\dim(\ker T)=\dim W_2-\dim(\operatorname{Im}T)\ge \dim W_2-\dim W_1\ge 1,$

   最后一步正是用了 $\dim W_2>\dim W_1$。维数至少为 $1$ 的空间必含非零向量，所以存在 $v\ne 0$ 属于 $W_2$，且对所有 $y\in W_1$ 都有 $\langle v,y\rangle=0$。$\blacksquare$

6. 6

   检查这个下界是紧的，条件也是必需的。 这个论证实际上给出了一整个由正交向量组成的子空间，其维数至少为 $\dim W_2-\dim W_1$。严格不等号不能去掉：在 $\mathbb{R}^{2}$ 中取 $W_1=W_2=\operatorname{span}\{(1,0)\}$，两者维数相等，此时 $W_2$ 中与 $W_1$ 正交的向量只有 $0$。