解方程 |x^2 − 13| = 3。

Step-by-step solution

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   按绝对值的定义分情形。 $|A| = 3$ 表示括号内的量到零的距离是 $3$，方向不限，因此 $A = 3$ 或 $A = -3$。这里就得到两个独立的一元二次方程：

   $x^2 - 13 = 3 \qquad \text{或} \qquad x^2 - 13 = -3$

   因为 $3 > 0$，两个分支都成立；如果右边是负数，那就一个解也没有。

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   解正号分支。

   $x^2 - 13 = 3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 16 \;\Longrightarrow\; x = \pm 4$

3. 3

   解负号分支。

   $x^2 - 13 = -3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 10 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{10}$

   两个分支右边都是正数，所以各自确实给出两个实根——这正是本方程有四个解而不是两个解的原因。

4. 4

   逐个验根。 $|4^2 - 13| = |3| = 3$，$|(-4)^2 - 13| = 3$。对那对无理根，$(\pm\sqrt{10})^2 = 10$，所以 $|10 - 13| = |-3| = 3$。四个根全部精确成立。

5. 5

   写出解集。 按数轴顺序排列，其中 $\sqrt{10} \approx 3.1623$：

   $x = -4,\ -\sqrt{10},\ \sqrt{10},\ 4$