解方程 −0.0164x² + 0.3655x + 25.151 = 0，求 x。

Step-by-step solution

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   先注意二次项系数有多小。 取 $a=-0.0164$，$b=0.3655$，$c=25.151$，二次项只有当 $x$ 达到几十的量级时才与常数项相当：

   $|a|x^2\approx 25\ \Longrightarrow\ x\approx\sqrt{\tfrac{25}{0.0164}}\approx 39$

   所以两根的绝对值应当很大 —— 这是动手计算之前就该有的一个预期。

2. 2

   算判别式。

   $\Delta=0.3655^2-4(-0.0164)(25.151)=0.133590+1.649906=1.783496$

   $\sqrt{\Delta}=1.335476$

   比较少见的是，这里 $b^2$ 与 $-4ac$ 大小相当，原因是 $a$ 和 $b$ 都很小。

3. 3

   套求根公式。

   $x=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{2(-0.0164)}=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{-0.0328}$

   正是「除以极小的 $-0.0328$」这一步，把一个不大的分子放大成了很大的根。

4. 4

   算出两个根。

   $x_1=\frac{-0.3655+1.335476}{-0.0328}=-29.5724,\qquad x_2=\frac{-0.3655-1.335476}{-0.0328}=51.8590$

   顶点在 $x=-\tfrac{b}{2a}=\tfrac{0.3655}{0.0328}=11.143$，正好落在两根的正中间，对应的最大值为 $y\approx 27.19$。

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   用韦达定理核对。 两根之和应为 $-\tfrac{b}{a}=\tfrac{0.3655}{0.0164}=22.2866$，而 $-29.5724+51.8590=22.2866\;\checkmark$。两根之积应为 $\tfrac{c}{a}=\tfrac{25.151}{-0.0164}=-1533.60$，而 $(-29.5724)(51.8590)=-1533.60\;\checkmark$。这两项核对在本题里格外有价值，因为除以一个很小的数会把分子上的任何舍入误差成倍放大。