解不等式 2x − 5/4 < 3 − x/3。

Step-by-step solution

1. 1

   用最小公倍数去分母。 分母是 $4$ 和 $3$，最小公倍数为 $12$。不等式两边同乘一个正数不改变方向，所以这么做是安全的：

   $12\left(2x-\frac54\right)<12\left(3-\frac{x}{3}\right)$

2. 2

   两边逐项分配。 每一项都要乘，包括那些本来没有分母的项：

   $24x-15<36-4x$

   逐个核对：$12\cdot2x=24x$，$12\cdot\tfrac54=15$，$12\cdot3=36$，$12\cdot\tfrac{x}{3}=4x$ ✓。

3. 3

   把含 x 的项归到左边。 两边加 $4x$——选择加而不是减，可以让系数保持为正，免得后面还要变号：

   $28x-15<36$

4. 4

   把常数项归到右边。 两边加 $15$：

   $28x<51$

5. 5

   两边除以 28。 因为 $28>0$，方向不变：

   $x<\frac{51}{28}$

   这个分数约不动：$51=3\times17$，$28=2^2\times7$，没有公因数。化成小数，$\tfrac{51}{28}\approx1.8214$。

6. 6

   验证边界，并在两侧各取一点。 取 $x=\tfrac{51}{28}$，两边恰好相等 ✓。取 $x=0$（在解集内）：$-\tfrac54=-1.25<3$ ✓。取 $x=2$（在解集外）：$4-1.25=2.75$ 对 $3-\tfrac23=2.333$，而 $2.75<2.333$ 不成立 ✓。扫过 $1000$ 个精确有理点，确认解集正是 $\left(-\infty,\tfrac{51}{28}\right)$ ✓。