解方程组 x² + y = 2 与 −x² + y = 10。

Step-by-step solution

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   看出这个方程组本来就是为消元设计的。 两式里分别是 $+x^{2}$ 和 $-x^{2}$，所以只要把它们相加，$x$ 就整个消掉了——既不用代入，也不用两边平方。

2. 2

   两式相加。

   $(x^{2}+y)+(-x^{2}+y)=2+10\quad\Longrightarrow\quad 2y=12\quad\Longrightarrow\quad y=6$

3. 3

   把 y = 6 代回任意一式。 用第一式：

   $x^{2}+6=2\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-4$

4. 4

   解读这个不可能成立的等式。 任何实数的平方都 $\ge 0$，所以 $x^{2}=-4$ 无实数解。而 $y$ 又被唯一地定死为 $6$，因此不存在同时满足两式的实数对 $(x,y)$。

   $\boxed{\text{无实数解}}$

5. 5

   用第二式和图形各确认一次。 把 $y=6$ 代入 $-x^{2}+y=10$ 得 $-x^{2}=4$，也就是 $x^{2}=-4$——同样的矛盾，说明前面没有代数上的疏漏。从图形上看，$y=2-x^{2}$ 是顶点为 $(0,2)$ 的开口向下的抛物线，$y=10+x^{2}$ 是顶点为 $(0,10)$ 的开口向上的抛物线；前者永远不高于 $y=2$，后者永远不低于 $y=10$，两条曲线自然不可能相交。

6. 6

   如果题目允许复数，也顺带提一句。 在复数范围内 $x^{2}=-4$ 给出 $x=\pm 2i$，于是 $(2i,6)$ 与 $(-2i,6)$ 都满足两个方程。至于 $(4,-14)$、$(-4,-14)$、$(0,2)$ 这类选项，代进去哪个方程都不成立，直接代入就能排除。