解方程 1/(s + 2) + 1/(s + 4) + 1/(s + 9) − 1/(s + 6) = 0，求 s。

Step-by-step solution

1. 1

   先把不能取的值记下来。 四个分母分别在

   $s=-2,\ -4,\ -6,\ -9$

   处为零。不管后面算出什么，这几个数都不可能是解。一开始就写在旁边，后面一旦冒出增根就能立刻发现。

2. 2

   两边同乘去掉分母。 每一项都乘上 $(s+2)(s+4)(s+6)(s+9)$，方程就变成了整式方程。把得到的四个三次式合并，得

   $2s^{3}+33s^{2}+180s+300=0$

   四次项之所以消掉，是因为三个分式相加、一个相减，次数从 4 降到了 3。

3. 3

   试有理根——并且要敢于否掉那些看着很像的候选。 按有理根判别法，候选是 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 300$、$q\mid 2$。把比较像的几个代进去：$s=-5$ 得 $2(-125)+33(25)-900+300=-25\neq 0$，$s=-4$ 得 $-128+528-720+300=-20\neq 0$，$s=-\tfrac{15}{2}$ 得 $-\tfrac{3375}{4}+\tfrac{7425}{4}-1350+300\neq 0$。根本不存在有理根，也就是说这个三次式在有理数范围内分解不了。

4. 4

   猜出来的因式分解一定要乘回去检验。 比如猜 $(s+5)(2s+15)(s+4)$，乘开是 $2s^{3}+33s^{2}+175s+300$ —— 首项、二次项和常数项都对得上，但一次项是 $175$ 而不是 $180$。就是靠核对这一个系数才把错误揪出来的。

5. 5

   用数值方法求那个实根。 由于 $f(-3)=3>0$ 而 $f(-3.1)=-0.452<0$，根落在两者之间；牛顿迭代收敛到

   $s\approx-3.0864085$

   它不在前面列出的排除值里，所以是一个真解。

6. 6

   交代另外两个根，并回代验算。 剩下两个根是共轭复数对 $s\approx-6.7068\pm 1.9024i$，因此实数解恰好只有一个。把 $s=-3.0864085$ 代回原式：$\tfrac{1}{-1.0864}+\tfrac{1}{0.9136}+\tfrac{1}{5.9136}-\tfrac{1}{2.9136}=-0.9205+1.0946+0.1691-0.3432=0.0000$ ✓。