把 4m²n − 8mn² − 2mn 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先逐项比较系数，找出数字上的公因数。 三项的数字系数是 $4,-8,-2$，它们的最大公约数是 $2$。

2. 2

   再找出各字母的公共次数。 每一项都至少含一次 $m$、至少含一次 $n$：$m$ 的次数依次是 $2,1,1$（最小为 $1$），$n$ 的次数依次是 $1,2,1$（最小也是 $1$）。于是完整的公因式是

   $\gcd=2mn$

3. 3

   把每一项都除以 2mn，并把商明确写出来。

   $\frac{4m^2n}{2mn}=2m,\qquad \frac{-8mn^2}{2mn}=-4n,\qquad \frac{-2mn}{2mn}=-1$

   第三个商正是大家最容易出错的地方：当某一项本身就是公因式（至多差一个符号）时，它并不会消失——而是留下一个 $-1$。

4. 4

   拼出分解后的形式。

   $4m^2n-8mn^2-2mn=2mn\left(2m-4n-1\right)$

5. 5

   检查括号里还能不能继续分解。 $2m-4n-1$ 对两个字母都是一次的，而且没有公因式（那个 $-1$ 挡住了把 $2$ 提出来的可能），所以分解到此为止。

6. 6

   展开验算，并随机代值检验。 乘回去：$2mn\cdot2m=4m^2n$，$2mn\cdot(-4n)=-8mn^2$，$2mn\cdot(-1)=-2mn$ ✓。在 $[-5,5]$ 内随机取 $60$ 组 $(m,n)$ 测试，每一点都在机器精度内一致 ✓。