解不等式 (x + 1)(x − 3) > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   保持因式分解的形式别展开。 两个因式同号时乘积为正，异号时为负。要是展开成 $x^2-2x-3$，恰好把让这道题变简单的信息丢掉了。

2. 2

   求每个因式的零点。

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   乘积只可能在这两点处变号，于是数轴被切成 $(-\infty,-1)$、$(-1,3)$ 和 $(3,\infty)$。

3. 3

   每个区间取一个值试算。 取 $x=-2$：$(-1)(-5)=5>0$（两个因式都是负的）。取 $x=0$：$(1)(-3)=-3<0$（两者异号）。取 $x=4$：$(5)(1)=5>0$（两者都是正的）。规律是正、负、正。

4. 4

   从图像形状再确认一遍这个规律。 展开后二次项系数是 $+1$，所以抛物线开口向上：它在两根之间沉到 x 轴以下，在两根之外升到 x 轴以上。这正是刚才试算出来的符号规律——一个很好用的独立检验。

5. 5

   选出区间并排除两个根。 不等号是严格的，所以乘积恰好为 $0$ 的那两点不算：

   $x<-1\qquad\text{或}\qquad x>3,\qquad(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

6. 6

   用扫描法验证。 在 $-10$ 到 $10$ 之间取 $2001$ 个点逐一算出乘积，再与上面给出的解集比对，每一个点都吻合 ✓。